El lunes 19 de octubre, la revista de divulgación Quanta publicó el veredicto de los especialistas que revisaron una prueba matemática hecha por una inteligencia artificial (IA) de OpenAI: en general, coinciden en que el resultado es correcto. Uno de ellos, Maksym Radziwiłł, de la Universidad de Nueva York, señaló que las implicaciones de este avance parcial son “asombrosas”, expresando que, en cierto sentido, la gran mayoría de las consecuencias de la hipótesis completa se derivan de esta demostración.
Si dicen que está bien, ¿por qué todavía no la dan por terminada?
La respuesta no es que no haya consenso. Y entenderla sirve para juzgar si esta prueba es el mayor logro de la IA, y todos esos titulares que vemos de la IA descubriendo cosas.
Esta demostración se conoció el martes 6 de octubre, cuando OpenAI publicó un lote de 722 trabajos de matemática hechos, según la empresa, por una IA interna que todavía no salió al público: una que no está aún en ChatGPT.
Entre estos trabajos estaba el que aborda la hipótesis de Riemann, una pregunta sobre los números primos abierta desde hace más de 160 años. Aunque no la resuelve, presenta la prueba de una versión más débil, la hipótesis cuasi-Riemann.
Para entender el veredicto hay que separar dos cosas que en matemática suelen ir juntas: que una prueba sea correcta y que otros la puedan seguir. Hoy día lo primero lo puede controlar, en parte, un programa; lo segundo recae en las personas.
Qué dice la hipótesis de Riemann, vista como una carretera
Un número primo es un entero mayor que uno que solo es divisible por sí mismo y por la unidad: el 2, el 3, el 5, el 7. Aparecen salteados, pero hay una fórmula que estima bien cuántos hay hasta cualquier número (y este punto es clave: es una estimación). La gran pregunta es cuánto se equivoca esa estimación: su margen de error, como en una encuesta.
En 1859, Bernhard Riemann mostró que la manera en que se reparten los primos depende, en cierto sentido, de los ceros de una función. Una función es una regla que convierte un número en otro, y sus ceros son los números que convierte en cero. Cada cero tiene dos coordenadas, como un lugar en un mapa, y Riemann probó que los que importan caen en una franja.
Pensá esa franja como una carretera vista desde arriba, y a cada cero, como un auto. Cuanto más se arrima un auto a una orilla, más se puede equivocar la estimación de los primos. Riemann sospechó que todos van sobre la línea del medio, donde el error es el mínimo posible. Eso es la hipótesis de Riemann: hipótesis, porque sigue sin demostrarse.
Hasta la fecha, usando fuerza bruta con computadoras se comprobó que los primeros 12 billones de ceros están sobre la línea del medio. Pero hay infinitos, y una prueba tiene que valer para todos.
Qué probó la IA y por qué se llama cuasi-Riemann
En 1896 se probó que ningún auto pisa la línea de la orilla, y con eso la estimación de los primos pasó a ser un teorema: algo demostrado, que se puede usar sin volver a probarlo. Pero no pisar la línea no es lo mismo que no andar pegado a ella. Hasta el 6 de octubre, lo mejor que se sabía era una franjita vacía junto a la orilla, cada vez más angosta a medida que se avanza. Así lo describió ese día Alex Kontorovich, de la Universidad Rutgers, en la red social X.
Lo que dice haber probado la IA es más fuerte: si partís la carretera en 8 carriles iguales, por los dos de las orillas no pasa ningún auto. La franja vacía ya no se angosta: tiene un ancho fijo.
Eso alcanza para probar la hipótesis cuasi-Riemann. Cuasi, de casi: no dice que todos van por el medio, sino que hay orillas vacías de un ancho fijo.
La franja de los ceros vista como una carretera: si la prueba se confirma, por los dos carriles de las orillas no pasa ningún auto. Que todos vayan por la línea del medio, como sospechó Riemann, sigue sin probarse.
Importa porque cuanto más anchas son las orillas vacías, más chico es el margen de error al contar primos. Según Radziwiłł, decenas de resultados que dependían de la cuasi-Riemann quedarían demostrados de un golpe si la prueba se confirma.
Cómo se verifica una prueba que escribió una IA
La primera versión tiene 199 páginas y es la de los 8 carriles. Su resultado principal pasó por Lean, un programa asistente de demostración de teoremas que usa un lenguaje de programación funcional que permite escribir y verificar demostraciones matemáticas de forma rigurosa y línea por línea, eliminando la posibilidad de errores humanos en los pasos de la demostración. Funciona como un GPS: te garantiza que llegaste a la dirección que le pusiste; si la pusiste mal, llegás perfecto al lugar equivocado.
La segunda versión, terminada días después y publicada en el mismo lote, tiene 49 páginas y orillas vacías más angostas: las de 12 carriles, también de ancho fijo. Todavía no pasó por el verificador y, según Quanta, es el único de los 722 trabajos que editó una persona. OpenAI no dijo quién.
Los especialistas dejaron de lado la primera versión larga para concentrarse en la segunda de 49 páginas, y Radziwiłł dio su motivo, muy simple: es más corta. La larga pasó por el verificador y la corta la están revisando las personas: ninguna tiene todavía los dos controles.
Las dos versiones de la prueba: el resultado principal de la de 199 páginas pasó por un programa verificador; la de 49, más corta y algo más débil, es la que estudian los especialistas.
El resto del lote muestra por qué hacen falta ambos. El miércoles 7 de octubre, OpenAI retiró 3 trabajos por un error de signo y corrigió otros 14, según su página. Ahí también informa que cerca de 4 de cada 10 tienen su resultado principal verificado con Lean; el resto, no.
Pero el director de la biblioteca de pruebas verificadas de Lean advirtió que algunas de esas verificaciones parecen probar algo más débil que lo anunciado. Es como el GPS que llega a una dirección parecida, no a la anunciada.
Cómo se entiende una prueba: de 199 páginas a media página
La IA entregó primero 199 páginas y después una versión más débil, de 49. Aunque esté mal escrita, los especialistas la están entendiendo, y se nota en cómo se achica: otros matemáticos escribieron versiones propias, de 7 a 13 páginas, que circulan en privado. Y Radziwiłł ya puede resumirla incluso en media página.
De las 199 páginas que entregó la IA a la media página con la que un especialista ya la resume; en el medio, las 49 de la otra versión de la IA, más débil, y las de 7 a 13 que escribieron otros matemáticos.
Esa media página no es la prueba entera, sino su esqueleto: la diferencia entre leer casi 200 páginas y contarla en una servilleta. Esa compresión, por ahora, la hacen personas.
A tal punto interesa esto que Peter Sarnak, especialista en teoría de números de la Universidad de Princeton, decidió dedicar el curso de este semestre a estudiarla. Pero no la va a considerar un Teorema, con mayúscula, hasta que las personas hayan revisado y entendido todos los detalles. Por eso todavía no se la da por terminada: en matemática, una prueba no termina cuando alguien la escribe, sino cuando otros la pueden seguir.
Alexander Dunn, del Instituto de Tecnología de Georgia, la describió como “una síntesis sorprendente de ideas bien conocidas”, y según Quanta una pieza clave es una fórmula que él y Radziwiłł demostraron en 2021. Los especialistas creían que iba a hacer falta otra rama de la teoría de números. La IA trabajó como si alcanzaran las herramientas de siempre: “una creencia bastante audaz”, según Radziwiłł. Si la prueba se sostiene, acertó.
Eso no quiere decir que esté cerca la prueba de que todos los autos van por el medio. Will Sawin, también de Princeton, cree que la hipótesis completa se va a seguir sintiendo “tan lejos como antes”, aunque no está seguro.
Qué pasa con la etiqueta de mayor logro de la IA
¿Sirve para algo fuera de la matemática? Por ahora, si la prueba se confirma, ciertos cálculos que las computadoras hacen probando números al azar tendrían una receta sin azar y por tanto un tiempo máximo garantizado, aunque con azar ya se resolvían enseguida. Lo que la prueba destraba son otros teoremas.
¿Es, entonces, el mayor logro de la IA en matemática? Para Jared Duker Lichtman, de la Universidad de Stanford, sí: lo llamó “el logro más significativo de la IA en matemática hasta ahora, y por amplio margen”. Conviene saber que Lichtman colaboró con Math, Inc., una empresa de IA para matemática. Y conviene leer la letra chica. Dice “de la IA” y “hasta ahora”: compara a la IA consigo misma, no con toda la historia de la matemática.
Mi lectura, discutible, es que Lichtman tiene buenos motivos, pero esa etiqueta todavía va escrita con lápiz: vale si la prueba se sostiene, y eso lo deciden las personas que la leen. Lo de fondo es otra cosa. La IA ya produce pruebas más rápido de lo que los matemáticos pueden leerlas: el cuello de botella dejó de ser encontrar la prueba; ahora es entenderla.
Quienes trabajamos con estos sistemas conocemos la versión chica de ese desfase: producir se volvió barato; revisar, no.
La próxima vez que leas que una IA demostró algo, hacete tres preguntas. ¿Lo dicen los que lo revisaron, y no solo la empresa? ¿Lo revisaron personas, y no solo un programa? ¿Algún especialista de afuera ya lo pudo resumir en pocas páginas?
Con la prueba de las orillas vacías, la primera tiene un sí, la segunda está a medias y la tercera ya cabe en media página.
Fuente: Infobae — Ver noticia original